基礎数学例

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

ステップ 1

方程式を $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ として書き換えます。

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

ステップ 2

たすき掛けします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

ステップ 2.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = z$ です。

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ を ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + z) (4 - z)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.1.3

$4$ を $z$ の左に移動させます。

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.1.5

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.5.1

$z$ を移動させます。

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.1.5.2

$z$ に $z$ をかけます。

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 4 z$ と $4 z$ をたし算します。

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.2.3

$16$ と $0$ をたし算します。

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.3

積の法則を $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.4

${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.5

簡約します。

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.6

分配則を当てはめます。

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.7

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.1

$16$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

ステップ 4.2.1.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

ステップ 5

$z$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $16 y^{2}$ を引きます。

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

ステップ 5.2

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ の各項を $- y^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ の各項を $- y^{2}$ で割ります。

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 5.2.2.2.2

$z^{2}$ を $1$ で割ります。

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 5.2.3.1.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

$\frac{- 16}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

ステップ 5.2.3.1.3

$- 1 \cdot - 16$ を $- - 16$ に書き換えます。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

ステップ 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

ステップ 5.4

$\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$16$ を $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$16$ を $- \frac{16}{y^{2}}$ で因数分解します。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

ステップ 5.4.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

ステップ 5.4.1.3

$16$ を $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ で因数分解します。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

ステップ 5.4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

ステップ 5.4.2.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(\frac{1}{y})}^{2}$ に書き換えます。

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

ステップ 5.4.2.3

$- {(\frac{1}{y})}^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

ステップ 5.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{1}{y}$ です。

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

ステップ 5.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

ステップ 5.4.5

公分母の分子をまとめます。

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

ステップ 5.4.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

ステップ 5.4.7

公分母の分子をまとめます。

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

ステップ 5.4.8

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.8.1

$16$ と $\frac{y + 1}{y}$ をまとめます。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

ステップ 5.4.8.2

$\frac{16 (y + 1)}{y}$ に $\frac{y - 1}{y}$ をかけます。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

ステップ 5.4.8.3

$y$ を $1$ 乗します。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

ステップ 5.4.8.4

$y$ を $1$ 乗します。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

ステップ 5.4.8.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

ステップ 5.4.8.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

ステップ 5.4.9

$\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ を ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.9.1

$16 (y + 1) (y - 1)$ から完全累乗 ${(2^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

ステップ 5.4.9.2

$y^{2}$ から完全累乗 $y^{2}$ を因数分解します。

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.4.9.3

分数 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

ステップ 5.4.10

累乗根の下から項を取り出します。

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.4.11

$2$ を $2$ 乗します。

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 5.4.12

$\frac{4}{y}$ と $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ をまとめます。

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

基礎数学 例

基礎数学例